Matematyka | 3-liceum ogólnokształcące i technikum | zakres podstawowy
Cele kształcenia – wymagania ogólne
Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1.1. Uczeń interpretuje tekst matematyczny.
Po rozwiązaniu zadania interpretuje
otrzymany wynik.
1.2.R Uczeń używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników.
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2.1. Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.
2.2.R Uczeń rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi.
Modelowanie matematyczne
3.1.R Uczeń dobiera model matematyczny
do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu.
3.2.R Uczeń buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzględniając ograniczenia i zastrzeżenia.
Użycie i tworzenie strategii.
4.1. Uczeń stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania.
4.2.R Uczeń tworzy strategię rozwiązania problemu.
Rozumowanie i argumentacja.
5.1. Uczeń prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków.
5.2.R Uczeń tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność.
Treści nauczania – wymagania szczegółowe
I. Liczby rzeczywiste. Uczeń:
przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg);
oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych);
posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach;
oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych;
wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką,
chemią, informatyką);
wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi
o wykładniku naturalnym;
oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia;
posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok).
wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą
równań i nierówności typu: $|x – a| = b, |x – a| \lt b, |x – a| \gt b$,
stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
II. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:
stosuje wzory skróconego mnożenia: $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $a^2-b^2$;
używa wzorów skróconego mnożenia na $(a+b)^3$, $(a-b)^3$, $a^3+b^3$, $a^3-b^3$;
dzieli wielomiany przez dwumian $ax+b$;
rozkłada wielomian na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias;
dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany;
wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się łatwo sprowadzić do iloczynu
wielomianów liniowych i kwadratowych;
dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; rozszerza i (w łatwych przykładach) skraca wyrażenia wymierne
III. Równania i nierówności. Uczeń:
sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierów ności;
wykorzystuje interpretację geometryczną układu równań pierwszego stopnia z dwie ma niewiadomymi;
rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą;
rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą;
rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą;
korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu $x^3 = –8$;
korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu $x(x + 1)(x – 7) = 0$;
rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub kwa dratowych,
np. $\frac{x+1}{x+3}=2$, $\frac{x+1}{x}=2x$;
stosuje wzory Viete'a
rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem;
rozwiązuje układy równań, prowadzące do równań kwadratowych;
stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian $x – a$;
stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych;
rozwiązuje równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych;
rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o poziomie trudności nie wyższym niż: $||x+1|-2|=3$, $|x+3| +|x-5| \gt 12$
IV. Funkcje. Uczeń:
określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego;;
oblicza ze wzoru wartość funkcji dla da ne go argumentu. Posługuje się poznanymi metodami
rozwiązywania równań do oblicze nia, dla jakiego argumentu funkcja przyj muje daną wartość;
odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja maleje,
roś nie, ma stały znak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym prze dziale wartość największą lub najmniejszą);
na podstawie wykresu funkcji $y = f(x)$ szkicuje wykresy funkcji $y = f(x + a)$, $y = f(x) + a$, $y = –f(x)$, $y = f(–x)$;
rysuje wykres funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru;
wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie;
interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru;
wyznacza wzór funkcji kwadratowej na pod stawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci
iloczynowej (o ile istnieje);
wyznacza wartość najmniejszą i wartość naj większą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych
w kontekście praktycznym);
szkicuje wykres funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$ dla danego $a$, korzysta ze wzoru i wykresu tej funkcji do interpretacji
zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi;
szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw;
posługuje się funkcjami wykładniczymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym.
na podstawie wykresu funkcji $y = f(x)$ szkicuje wykresy funkcji $y = |f(x)|$, $y = c f(x)$, $y = f(cx)$;
szkicuje wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw;
posługuje się funkcjami logarytmicznymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym;
szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami; odczytuje własności takiej funkcji z wykresu.
V. Ciągi. Uczeń:
wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
stosuje wzór na $n$-ty wyraz i na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
stosuje wzór na $n$-ty wyraz i na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym;
oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$
oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów;
rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.
VI. Trygonometria. Uczeń:
wykorzystuje defi nicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0° do 180°;
korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych
za pomocą kalkulatora);
oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę
dokładną albo - korzystając z tablic lub kalkulatora – przybliżoną);
stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: $\sin^2\alpha + \cos^2 \alpha =1$, $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ oraz $\sin(90^\circ -\alpha)=\cos\alpha$
znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozo stałych funkcji tego samego
kąta ostrego.
stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i od wrotnie;
wykorzystuje defi nicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach
(przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego);
wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;
posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych (np. gdy rozwiązuje nierówności typu $\sin x \gt a$, $\cos x \leq a$, $\tan x \gt a$);
stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów;
rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu $\sin 2x = \frac{1}{2}$, $\sin 2x + \cos x = 1$, $\sin x + \cos x =1$, $\cos 2x \lt \frac{1}{2}$.
VII. Planimetria. Uczeń:
stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym;
korzysta z własności stycznej do okręgu i wła sności okręgów stycznych;
rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycz nych) cechy podobieństwa trójkątów;
korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta
ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi.
stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu;
stosuje twierdzenie Talesa i twierdzenie od wrotne do twierdzenia Talesa do obliczania długości odcinków i ustalania równoległości prostych;
znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.);
rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności;
znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.
VIII. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń:
wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej);
bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych;
wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez
dany punkt;
oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych;
wyznacza współrzędne środka odcinka;
oblicza odległość dwóch punktów;
znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem
osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu.
interpretuje graficznie nierówność liniową z dwiema niewiadomymi oraz układy takich nierówności;
bada równoległość i prostopadłośćpros tych na podstawie ich równań ogólnych;
wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci ogólnej i przechodzi przez dany punkt;
oblicza odległość punktu od prostej;
posługuje się równaniem okręgu $(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$ oraz opisuje koła za pomocą nierówności;
wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu;
oblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach;
stosuje wektory do opisu przesunięcia wykresu funkcji.
IX. Stereometria. Uczeń:
rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi, itp.),
oblicza miary tych kątów;
rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi
i ścianami), oblicza miary tych kątów;
rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka,
kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami;
określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości.
określa, jaką figurą jest dany przekrój sfery płaszczyzną;
określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.
X. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Uczeń:
oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych),
interpretuje te parametry dla danych empirycznych;
zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę
mnożenia i regułę dodawania;
oblicza prawdopodobieństwa w prostych sy tuacjach, stosując klasyczną defi ni cję praw dopodobieństwa.
wykorzystuje wzory na liczbę permu tacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej
złożonych sytuacjach kombinatorycznych;
oblicza prawdopodobieństwo warunkowe;
korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.
XI. Rachunek różniczkowy. Uczeń:
oblicza granice funkcji (i granice jednostronne), korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych;
oblicza pochodne funkcji wymiernych;
korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej;
korzysta z własności pochodnej do wyznaczenia przedziałów monotoniczności funkcji;
znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych;
stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.